Matrizes e vetores (numpy)¶

Matrizes e vetores não são escritas diretamente em python. São, na verdade, armazenados na forma de listas. Para facilitar o trabalho, utiliza-se a biblioteca numpy, tipicamente referenciada com a sigla np, empregando-se a propriedade arrays para armazenamento destas listas.

O numpypossui um grande número de métodos (pacotes) de cálculos associados à listas. Algumas das mais importantes estão apresentadas a seguir (Programiz)

Objetivo	Algumas funções do numpy
Criação de listas	np.array(), np.zeros(), np.ones(), np.empty()
Manipulação	np.reshape(), np.transpose()
Funções matemáticas	np.sqrt(), np.power()
Funções estatísticas	np.median(), np.mean(), np.std(), and np.var()
Carrgamento, salvamento	np.save(), np.load(), np.loadtxt()

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo -) Escrita de Matriz

Escreva uma matriz $ A\left(i,j\right) = i+j $, de 4 por 3.

Considere por exemplo o seguinte código

import numpy as np
A = np.zeros([4,3])
for i in range(4):
    for j in range(3):
        A[i][j] = i+j+2

print(A)

Que gera o seguinte resultado.

[[2. 3. 4.]
 [3. 4. 5.]
 [4. 5. 6.]
 [5. 6. 7.]]

Exemplo -) Escrevendo uma matriz com o comando reshape

Considere por exemplo o seguinte código

import numpy as np
a = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]).reshape(5,4)
print(a)

Que gera o seguinte resultado.

[[ 1  2  3  4]
 [ 5  6  7  8]
 [ 9 10 11 12]
 [13 14 15 16]
 [17 18 19 20]]

Extraindo submatrizes e subvetores¶

Há algumas formas de extrair submatrizes e subvetores do python.

Forma 1 - extraindo linhas e colunas com vetores de posicao

A forma a seguir funciona com arrays do *numpy* .

a = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]).reshape(5,4)
print(a)
posl=[0,3] # vetor de posições das linhas
posc = [1,2] # vetor de posições das colunas
b = a[posl][:,posc] # vetor extraído
print(b)

Forma 2 - criando uma funcao de extracao

A forma a seguir cria extrai submatrizes e subvetores de uma lista A de duas dimensões (não precisa usar o numpy)

# Função que extrai posicões de uma lista A retangular bidimensional
def extraiposicao(A,posl,posc):
    B = []
    nl = len(posl);
    nc = len(posc);
    for i in range(nl):
        B.append([])
        for j in range(nc):
            B[i].append(A[posl[i]][posc[j]])
    return(B)

A = [[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12],[13,14,15,16]] # "matriz"
posl = [0,2] # posicoes das linhas
posc = [1,3] # posicoes das colunas

B = extraiposicao(A,posl,posc)
print(B)

A transposta de matrizes e vetores¶

A transposta de matrizes e vetores é dada pela função np.tranpose()ou escrevendo .T associado a uma variável. Por exemplo:

a = np.array([1,2,3])
b = a.T 
c = np.tranpose(a)

No código acima, b,c são iguais (mesma forma de fazer).

O comando retorna resultados distintos a depender da entrada (numpy.org):

se a entrada for 1D, retorna o mesmo resultado. Ex: a transposta de np.array([1,2,3]) gera o mesmo vetor
se a entrada for 2D ou maior, inverte a ordem dos índices (o que era A[i][j] passa a ser A[j][i])

Um segundo argumento da função permite informar quais eixos devem ser transpostos.

Multiplicação matricial¶

⚠ Use com cuidado!!!!

Usando o numpy, é possível efetuar a multiplicação matricial com o comando np.matmul(A,B), ou o comando A @ B, que multiplicad duas matrizes $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$.

Considere por exemplo a seguinte multiplicação matricial

$$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 4 & 5 & 6 \cr 7 & 8 & 9 \cr 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} $$$$ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \cr 5 & 6 & 7 & 8 \cr 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} $$

Fazendo:

$$ \mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 4 & 5 & 6 \cr 7 & 8 & 9 \cr 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \cr 5 & 6 & 7 & 8 \cr 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} $$

Em python, pode-se efeutar a multiplicação acima da seguinte forma:

A = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]).reshape(4,3)
B = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]).reshape(3,4)
v = np.array([1,2,3])

C = A @ B
print(C)

O matmul do numpy funciona da seguinte forma:

$$ \mathbf{A} $$	$$ \mathbf{B} $$	Saida	Comentário
$$ n \times m $$	$$ m \times p $$	$$ n \times p $$	Multiplicacao matricial normal
$$ n^* $$	$$ n^* \times p $$	$$ p^* $$	Se o 1º argumento é 1D, cria uma dimensão adicional, multiplica e depois colapsa a dimensão
$$ n \times p $$	$$ p^* $$	$$ n^* $$	Se o 2º argumento é 1D, cria uma dimensão adicional, multiplica e depois colapsa a dimensão

não se designa orientação

Note que se um dos vetores que estão sendo multiplicados tiver dimensão 1, ele cria outra dimensão, efetua a multiplicação e depois colapsa a dimensão criada.

Multiplicação, soma elemento a elemento¶

⚠ Coisas malucas surgem quando as matrizes não possuem a mesma dimensão!!!!

No python a multiplicação de duas 'matrizes' sem símbolos especiais é na verdade a multiplicação elemento a elemento. Ou seja:

$$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 4 & 5 & 6 \cr 7 & 8 & 9 \cr 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} $$$$ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 10 & 20 & 30 \cr 40 & 50 & 60 \cr 70 & 80 & 90 \cr 100 & 110 & 120 \end{pmatrix} $$

Fazendo:

$$ \mathbf{C} = \mathbf{A} \odot \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 4 & 5 & 6 \cr 7 & 8 & 9 \cr 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 10 & 20 & 30 \cr 40 & 50 & 60 \cr 70 & 80 & 90 \cr 100 & 110 & 120 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 10 & 2\cdot 20 & 3\cdot 30 & 4 \cdot 40 \cr 5 \cdot 50 & 6 \cdot 60 & 7 \cdot 70 & 8 \cdot 80 \cr 9 \cdot 90 & 10 \cdot 100 & 11 \cdot 110 & 12 \cdot 120 \end{pmatrix} $$$$ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 10 & 40 & 90 \cr 160 & 250 & 360 \cr 490 & 640 & 810 \cr 1000 & 1210 & 1440 \end{pmatrix} $$

No python, a multiplicação seria feita como:

A = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]).reshape(4,3)
B = np.array([10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120]).reshape(4,3)
C = A*B

Que gera o seguinte resultado:

array([[  10,   40,   90],
       [ 160,  250,  360],
       [ 490,  640,  810],
       [1000, 1210, 1440]])

A soma de listas elemento a elemento é análoga, conforme segue.

A = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]).reshape(4,3)
B = np.array([10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120]).reshape(4,3)
C = A + B
print(C)

Que gera o seguinte resultado.

[[ 11  22  33]
 [ 44  55  66]
 [ 77  88  99]
 [110 121 132]]

Funções matemáticas/estatísticas¶

Pode-se fazer uso de funções matemáticas associadas à listas inteiras (desde que numéricas). Este site apresenta a lista de funções matemáticas e estatísticas que estão disponíveis no numpy.

Por exemplo, considere que se deseja extrair a raiz quadrada da seguinte lista.

A = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]).reshape(5,4)
B = np.sqrt(A)
print(B)

O que gera o seguinte resultado:

[[1.         1.41421356 1.73205081 2.        ]
 [2.23606798 2.44948974 2.64575131 2.82842712]
 [3.         3.16227766 3.31662479 3.46410162]
 [3.60555128 3.74165739 3.87298335 4.        ]
 [4.12310563 4.24264069 4.35889894 4.47213595]]